JUNIO

01/06/2016
Clase N°14
Probabilidad
PROBABILIDAD DE EVENTOS

El valor de la probabilidad de un evento es una medida de la certeza de su realización

Sea A un evento, entonces P(A) mide la probabilidad de que el evento A se realice

P(A)=0 es la certeza de que no se realizará

P(A)=1 es la certeza de que si se realizará

P(A)=0.5 indica igual posibilidad de que se realice o no se realice

Asignación de valores de probabilidad a eventos

1) Empírica

Es la proporción de veces que un evento tuvo el resultado esperado respecto al total de

intentos realizados.

Ejemplo. Se han realizado 20 ensayos en un experimento en condiciones similares. Cuatro

ensayos tuvieron el resultado esperado. Entonces, la probabilidad que en el siguiente ensayo

se obtenga el resultado esperado tiene un valor aproximadamente: 4/20 = 0.2 = 20%

2) Mediante modelos matemáticos

Para muchas situaciones de interés puede construirse modelos matemáticos con los cuales se

puede determinar la probabilidad de eventos. Algunos de estos modelos son estudiados en

este curso, tanto para variables discretas como continuas.

3) Asignación clásica

Su origen es la Teoría de Juegos. El valor de probabilidad de un evento es la relación entre la

cantidad de resultados que se consideran favorables para el evento de interés, respecto al total

de resultados posibles (Espacio Muestral).

Definición: Asignación Clásica de Probabilidad a Eventos

Sean S: Espacio muestral

A: Evento de interés .

Si N(S) y N(A) representan la cardinalidad (número de elementos)

Entonces la probabilidad del evento A es: P(A)=  N(A)/ N(S)

Ejemplo. Calcule la probabilidad que al lanzar una vez un dado y una moneda se obtenga un

número impar y sello

Si c, s representan los valores cara y sello de la moneda, entonces el espacio muestral es:

S = {(1,c),(2,c),(3,c),(4,c),(5,c),(6,c),(1,s),(2,s),(3,s),(4,s),(5,s),(6,s)}

Mientras que el evento de interés es: A = {(1,s),(3,s),(5,s)}

Repuesta: P(A) = N(A)/N(S) = 3/12 = 1/4 = 0.25 = 25%

06/06/2016
Clase N°15

PRINCIPIO BÁSICO DE CONTEO
Si un grupo tiene (m) elementos y otro grupo tiene (n) elementos entonces existen m*n formas de tomar un elemento.
Ejm 1:
al lanzar un dado se puede tener m=6 resultados
Al lanzar la moneda se puede tener n=2 resultados
m*n=6*12=12

PERMUTACIONES

Son arreglos donde se considera el orden de los elementos
n= Número de elementos
r= Número de arreglos

nPr= n!/(n-r)!

ARREGLO CIRCULAR
Suponga un grupo conteniendo n elementos, tal que el primero y el ultimo estén conectados. Para que los arreglos sean diferentes se debe fijar un elemento tal, que mientras que los otros pueden ser intercambiados.
(n-1)!

PERMUTACIONES CON ELEMENTOS REPETIDOS
Si del total de n elementos, "n" fuesen repetidos existen n! formas de tomar los elementos repetidos por lo tanto la cantidad de permutaciones se reducirá por el factor n1!
n/n1!
n/n1!*n2!
n/n1!*n2!.....nk!

COMBINACIONES
Son los arreglos que se pueden hacer con los elementos de un conjunto considerando que el orden de los elementos en cada arreglo no es de interés.
n= Cantidad de elementos del conjunto
r= Cantidad de los elementos del arreglo
nCr=n!/(n-r)!r!

PRINCIPIO BÁSICO DE CONTEO
Si un grupo tiene (m) elementos y otro grupo tiene (n) elementos entonces existen m*n formas de tomar un elemento.
Ejm 1:
al lanzar un dado se puede tener m=6 resultados
Al lanzar la moneda se puede tener n=2 resultados
m*n=6*12=12

PERMUTACIONES

Son arreglos donde se considera el orden de los elementos
n= Número de elementos
r= Número de arreglos

nPr= n!/(n-r)!

ARREGLO CIRCULAR
Suponga un grupo conteniendo n elementos, tal que el primero y el ultimo estén conectados. Para que los arreglos sean diferentes se debe fijar un elemento tal, que mientras que los otros pueden ser intercambiados.
(n-1)!

PERMUTACIONES CON ELEMENTOS REPETIDOS
Si del total de n elementos, "n" fuesen repetidos existen n! formas de tomar los elementos repetidos por lo tanto la cantidad de permutaciones se reducirá por el factor n1!
n/n1!
n/n1!*n2!
n/n1!*n2!.....nk!

COMBINACIONES
Son los arreglos que se pueden hacer con los elementos de un conjunto considerando que el orden de los elementos en cada arreglo no es de interés.
n= Cantidad de elementos del conjunto
r= Cantidad de los elementos del arreglo
nCr=n!/(n-r)!r!

08/06/2016
Clase N°16

PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD DE EVENTOS

Con los axiomas establecidos se pueden demostrar algunas propiedades de interés, para los

eventos de un espacio muestral S.

3.8.1 Demostraciones basadas en axiomas de probabilidad

a) Probabilidad de un Evento Nulo: P(∅) = 0

Demostración: S = S∪∅ eventos excluyentes

⇒ P(S) = P(S) + P(∅) por el Axioma 3

⇒ 1 = 1 + P(∅) por el Axioma 2

⇒ P(∅) = 0

b) Probabilidad del Evento Complemento: P(Ec

Demostración: S = E∪Ec eventos excluyentes

⇒ P(S) = P(E) + P(Ec

⇒ 1 = P(E) + P(Ec

) = 1 – P(E)

⇒ P(Ec

) por el Axioma 3

) por el Axioma 2

c) Probabilidad de Eventos Incluidos: Si A ⊂ B, entonces P(A) ≤ P(B)

Demostración: Sean A, B eventos de S

Si A está incluido en B se puede escribir

B = A ∪ (AC ∩ B) eventos excluyentes

P(B) = P(A) + P(AC ∩ B) por el Axioma 3

P(B) ≥ P(A) por el Axioma 1

d) La probabilidad de un Evento está entre 0 y 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1

Demostración Sea E un evento cualquiera de S, entonces

∅ ⊂ E ⊂ S

P( ∅ ) ≤ P(E) ≤ P(S) por la Propiedad 3

0 ≤ P(E) ≤ 1 por la Propiedad 1 y Axioma 2

e) Probabilidad de la Diferencia de Eventos:

Demostración: A = (A – B)∪(A∩B) eventos excluyentes

P(A – B) = P(A) – P(A∩B) = P(A∩Bc

⇒ P(A) = P(A – B) + P(A∩B) por el Axioma 3

⇒ P(A – B) = P(A) –- P(A∩B) = P(A∩Bc

f) Regla Aditiva de Probabilidad de Eventos:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Demostración: A∪B = (A – B)∪(A∩B)∪(B – A) eventos excluyentes

⇒ P(A∪B) = P(A – B) + P(A∩B) + P(B – A) por el Axioma 3

⇒ P(A∪B) = P(A – B) + P(A∩B) + P(B – A) + P(A∩B) – P(A∩B

⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) con la Propiedad 5

Representación gráfica con un Diagrama de Venn de la Regla Aditiva de Probabilidad

13/06/2016

Clase N°17

PROBABILIDAD CONDICIONAL

La probabilidad de un evento puede depender o estar condicionada al valor de probabilidad de

otro evento. Introducimos este concepto con un ejemplo:

Ejemplo. Un experimento consiste en lanzar una vez un dado y una moneda. Calcule la

probabilidad de obtener como resultados el número 5 y sello

Sean c, s los valores cara y sello de la moneda, entonces el espacio muestral S es:

S = {(1,c),(2,c),(3,c),(4,c),(5,c),(6,c),(1,s),(2,s),(3,s),(4,s),(5,s),(6,s)}

Sea el evento de interés,

A: obtener como resultados el número 5 y sello

A = {(5, s)}

El evento A contiene un punto muestral. Entonces la probabilidad del evento A es 1 entre 12:

P(A) = 1/12 ≅ 0.0833

Suponga ahora que luego de lanzar el dado y la moneda, nos informan que el número del dado

fue impar. ¿Cual es la probabilidad del evento A dado el evento indicado?

Sea B este evento conocido: B = {(1,c),(3,c),(5,c),(1,s),(3,s),(5,s)}

Entonces, la probabilidad del evento A dado el evento B, es 1 entre 6:

P(A) dado B = 1/6 ≅ 0.1667

Definición: Probabilidad Condicional

Sean A, B eventos de S

La Probabilidad Condicional del evento A dado el evento B se escribe P(A|B) y es:

P(A| B) =P(A∩   B) / P(B) , P(B)≠0

15/06/2016

Clase N°18

PROBABILIDAD TOTAL

Existen situaciones en las cuales varios eventos intervienen en la realización de algún otro

evento del mismo espacio muestral.

Sean B1, B2, ... ,BK eventos mutuamente excluyentes en S y que constituyen una partición de

S, es decir, cumplen las siguientes propiedades:

a) ∀i,j (Bi∩Bj = ∅, i ≠ j) (Los eventos son mutuamente excluyentes)

b) B1∪B2∪ ... ∪BK = S (La unión de todos estos eventos es S)

Sea A un evento cualquiera de S La realización de A depende de los eventos B1, B2, ... ,BK

El siguiente gráfico permite visualizar esta relación entre los eventos descritos:

La siguiente fórmula permite calcular la probabilidad del evento A conocidos los valores de

probabilidad de los eventos B1, B2, ... ,BK

Definición:

Fórmula de la Probabilidad Total

20/06/2016
Clase N°19

En un experimento se lanzan tres monedas y se observa el resultado (c: cara o s: sello).

El conjunto de posibles resultados (espacio muestral) para este experimento, es el siguiente:

S = {( c, c, c),( c, c, s),( c, s, c),( s, c, c),( c, s, s),( s, c, s),( s, s, c),( s, s, s)}

Describa con una variable, el número de sellos que se obtienen.

Los posibles resultados se los puede representar con una variable. Si X es ésta variable,

entonces se dice que X es una variable aleatoria:

X: Variable aleatoria (número de sellos que se obtienen)

Al realizar el experimento, se obtendrá cualquier elemento del espacio muestral S.

Por lo tanto, la variable aleatoria X puede tomar alguno de los números: x = 0, 1, 2, 3.